О странностях «философии математики» Канта

Материал, посланный на третью всероссийскую научную конференцию "Философия математики: актуальные проблемы"

О странностях «философии математики» Канта

«Философии математики» Канта давно дана четкая оценка. Как отметил Кассирер, современная математика «пошла по пути, проложенному Лейбницем, а не Кантом». Более того, она «все более делалась “гипотетико-дедуктивной системой”, истинность которой заключалась исключительно в ее внутренней логической согласованности и последовательности». В сущности, то же утверждают и отечественные исследователи Е.А. Беляев и В.Я. Перминов: кантовская философия математики оказалась несостоятельной, произвольно сужающей область математических объектов; «дело не в созерцании... но лишь в формальных определениях, в оперативной силе понятия». Отношение ученых к Канту недвусмысленно выразил Герман Вейль: «соприкосновение с современной математикой обратило в прах мою веру в Канта». Тем не менее, до сих пор продолжаются попытки поднять «философию математики» Канта на щит, выразительным примером чего является книга В.С. Библера «Кант – Галилей – Кант». Это заставляет продолжать критический анализ наследия философа.
Строго говоря, никакой «философии математики» у Канта нет. Имеется лишь несколько отрывочных фрагментов (да еще и противоречащих друг другу), которые автор и не пытается развивать. С математикой Кант знаком недостаточно. Она для него – не предмет изучения, а средство подтверждения своих построений.
Когда мы читаем у Канта, что нечто (познание, задачи, метод) «называется математическим», сразу возникает вопрос, а кто именно дал такое наименование? Еще большее недоумение возникает, когда мы видим категорическую формулировку: «математическое знание есть...»! Неужто до Канта никто не идентифицировал математику?!
Когда читатель сталкивается с кантовской идеей, что философское познание исходит из понятий, а математическое – из конструирования понятий, у него в сознании всплывает обыденное значение слова «конструирование». Означает же оно ‘осмысленное собирание целого из частей’. Тем самым, конструирование – это феномен цивилизации. Оно встречается повсеместно и не может касаться какой-то одной сферы – математики. Заметим, что текст – это конструкция из предложений, доказательство – конструкция из доводов... В этом смысле ‘дискурсивность’, вопреки Канту, прекрасно вписывается в его ‘конструктивность’.
Вопреки стандартному смыслу, Кант навязывает совершенно иную интуицию этого слова: «конструировать понятие – значит показать a priori соответствующее ему созерцание» (то, что Кант называет «созерцанием», скорее всего, должно пониматься как «осознание»).
Подобная трактовка вызывает внутренний протест. Дело в том, что конструирование обращено вовне, оно динамично, результативно. Созерцание же сосредоточено внутри субъекта, статично, пассивно. Выражение «я конструирую треугольник, показывая предмет, соответствующий этому понятию» представляется бессмысленным. Где здесь, вообще, конструирование? Откуда возьмется понятие, если еще ничего не сконструировано? Что значит «показывать», откуда взялся «предмет»? И как понимать «соответствующий» (по каким критериям)?
Иной раз Кант называет «конструированием» то,  что в геометрии принято называть «дополнительным построением». Но здесь имеем дело не с понятиями, а с объектами. У Канта можно уловить две разновидности конструирования: «остенсивное» и «символическое».
Выражение «остенсивная, или геометрическая, конструкция» кажется весьма неудачным, поскольку «остенсивное определение» не предполагает никаких действий, а лишь указание на нечто, изначально имеющееся. Как при этом можно на глаз отличить окружность от эллипса с почти одинаковыми осями?!
Геометрия (в особенности, аналитическая, созданная Декартом) рассматривает не только прямые, треугольники и окружности, а более сложные кривые: эллипсы, параболы и гиперболы (которые входят в класс кривых второго порядка). На какой предмет показывал бы Кант в данном случае – загадка. Не упоминает он и построения с помощью циркуля и линейки, которые вполне можно было бы рассматривать как конструирование.
В какой-то мере, в качестве конструирования можно рассматривать вращение прямоугольного треугольника вокруг одной из своих сторон, приводящее к конусу. Но при чем здесь «синтез», непонятно.
«Символическое» конструирование Кант усматривает в алгебре, подразумевая под этим разного рода операции над величинами. Но назвать его лучше было бы «синтаксическим», что только подчеркнет – вопреки философу – их дискурсивный характер. По идее, оно могло бы привести к (простейшим) формулам. Но как здесь возможно «извлечение корня», неясно – дело же не в том, чтобы нарисовать соответствующий значок! Принципиально, что возникающие выражения не являются понятиями – они не имеют самостоятельного «смысла» (допускают различную интерпретацию).
Своим «конструированием» Кант не в состоянии охватить элементарную математику, не говоря о высшей. В частности, как у него может возникнуть представление о логарифме и многих других функциях?! А как в кантовском подходе может быть определено простое число? Характерно также, что философ не касается анализа бесконечно малых, который интенсивно развивался в ХVIII веке, – в его «конструктивизм» это не вписывается.
Настоящее «конструирование» понятий может быть только логическим и осуществляться в соответствующем языке (языковую проблематику Кант опускает). Материалом для этого выступают исходные (первичные) понятия, чего философ не учитывает. Все, что нужно, фиксируется в определениях и аксиомах. Наглядность же полезна в рамках эвристичности. Вопреки Канту, многие математические понятия «без ощущений» вовсе не «пусты».
Одно из самых частотных слов в «Критике чистого разума» – это « доказательство» (что диссонирует с не менее популярным «созерцанием»). О доказательствах же в математике автор «Критики» говорит мало, как будто не осознавая, что главное в ней – это доказательство теорем. Дедуктивный характер математики четко прослеживается по «Началам» Евклида или Ньютона! Употребляя выражение «цепь выводов», говоря о «постепенном присоединении», философ, фактически, признает «аналитичность», упорно декларируя «синтетичность».
Кант признает, что в математике «истинное место для апагогических доказательств», часто вспоминает «закон противоречия». Но доказательство от противного начинается с предположения ситуации, которой не может быть. Спрашивается, о какой наглядности, о каком in concrete можно говорить?!
Понятия аналитичности и синтетичности  Кант вводит для чрезвычайно узкого класса математических суждений. На самом деле формальная запись практически любой математической теоремы использует кванторы. Если аналитичность понимать как ‘выводимость’, то, очевидно, что все математические утверждения аналитичны. Если синтетичность трактовать как ‘информативность’, то, разумеется, все они синтетичны.
Интуиция самого Канта имела естественнонаучный характер. Суть проблемы в том, что имеющую идеальный характер математику философ попытался втиснуть в прокрустово ложе своей доктрины.